控制理论-自治系统与非自治系统

在控制理论中，“自治系统”与“非自治系统”的核心区别，在于系统的动态方程是否显式地依赖于时间变量 $t$。具体定义如下：

1. 自治系统 (Autonomous System)

数学形式：

系统的状态方程中，不显含时间变量 $t$，即：$\dot{x}(t) = f(x(t))$，其中，$x(t) \in \mathbb{R}^n$ 是系统的状态向量，$f$ 是仅依赖于状态的函数。

特征：

时不变性：系统的动态特性（如稳定性、平衡点）不随时间变化。
无外部时间依赖输入：系统演化完全由当前状态决定，不受外部时变信号影响。
典型例子：恒温箱的简化模型（仅由当前温度与设定值的偏差驱动）。

2. 非自治系统 (Non-autonomous System)

数学形式：

系统的状态方程中，显式地包含时间变量$t$，即：$\dot{x}(t) = f(x(t), t)$，其中，$f$ 同时依赖于状态 $x(t)$ 和时间 $t$。

特征：

时变性：系统的动态特性可能随时间变化（如参数时变、外部驱动）。
外部输入依赖：系统演化受外部时变信号（如控制输入 $u(t)$、扰动 $d(t)$）影响。
典型例子：无人机跟踪时变轨迹（参考信号 $r(t)$ 显式依赖于时间）。

关键区别总结

补充说明：控制输入的视角

在控制理论中，若系统存在控制输入$u(t)$，则：
开环系统【无反馈】通常为非自治系统【因 $u(t)$ 是时变函数】
闭环系统【反馈控制 $u(t) = k(x(t))$】可转化为自治系统【若$k(x(t))$ 时不变】
因而，对于一些非自治系统(时变)可以转化为自治系统（时不变）进行稳定性分析。